阿基里斯與烏龜

不知道大家有沒有聽過這個阿基里斯與龜的悖論。這是我在大學物理課本裡看到的有趣內容。
一開始，我們假設阿基里斯與一隻烏龜賽跑，而我們事先已經得知阿基里斯的跑步速度是這隻烏龜的10倍。由於烏龜跑得比較慢，所以我們讓他從距離阿基里斯10公尺的地方起跑。也就是說，烏龜一開始獲得了10公尺的領先。現在，讓烏龜和阿基里斯都起跑，當阿基里斯跑了10公尺，也就是把一開始落後的距離跑完後，烏龜還是領先阿基里斯1公尺(烏龜的速度是阿基里斯的1/10，阿基里斯跑了10公尺，在同一時間烏龜跑了1公尺)。當阿基里斯又往前跑了1公尺，烏龜就跑了1/10公尺。在阿基里斯又往前跑1/10公尺時，烏龜往前了1/100公尺。照著這樣的模式進行下去，我們得出了一個結論。在阿基里斯把落後的距離跑完時，烏龜也同時前進了原本領先的距離的1/10，所以阿基里斯永遠也追不上烏龜。但是，我們一開始得到的條件是阿基里斯跑得比烏龜快，怎麼可能會得出這樣的結論呢?

事實上，問題就出在我們的測量方式。我們是在阿基里斯追回落後的距離時停下來看阿基里斯與烏龜的位置，而不是經過特定時間後測量一次。如果用高中就學到的運動公式計算:
阿基里斯離起點的距離隨時間變化的方程式為:    10t(m)   (t是經過的時間(秒))
烏龜離原點的距離隨時間變化的方程式:  t+10(m)  (+10是因為烏龜從距離原點10m處出發)

要求出阿基里斯幾秒後追上烏龜，只要解出方程式:  10t = t+10 (兩個方程式的質相等時，就是兩者距離原點的距離相等，也就是阿基里斯追上烏龜時)
未知數 t 解出來的值就是 10/9(秒) 也就是說在兩者同時出發9/10秒後，阿基里斯就追上了烏龜。時間超過9/10秒後阿基里斯就會超越烏龜。
用上面的方式無法得出結論的原因是我們測量的時間越來越短。當阿基里斯跑了10公尺，時間過了一秒，我們停下來測量。當阿基里斯跑了落後的1/10公尺，時間過了1/10秒。依此類推，兩個測量之間的時間間隔越來越小，一直到無窮小。另外，物體在某段時間移動的距離等於時間乘以速度。如果把時間切到無窮小的話，是測不到物體移動的距離的。
很神奇的，改變看事情的角度就改變了一件事情的結論。就像阿基里斯與烏龜的賽跑一樣。